PageRank 網頁排名（冪迭代收斂）

想像一個永遠在網海裡亂點連結的「隨機衝浪者」：他大多數時候點開目前頁面上的某個連結跳走，偶爾膩了就隨手打一個網址重新開始。跑久了，他停在哪些頁面的時間最長？這個「長期停留機率」就是 PageRank——Google 早年用它替全網頁排名的核心點子。直覺是：被很多重要頁面指到的頁面，自己也重要；而且一個頁面把自己的「票」平均分給它指出去的每個連結。下面用一張 6 節點的小有向圖，一輪一輪地看每個節點的分數怎麼從均勻起步、互相傳遞、最後收斂成穩定排名。

PageRank 冪迭代 Power Iteration

所有節點 rank 從 1/N 均勻起步（總和為 1，代表機率分佈）。每一輪：先算懸掛質量（無出邊節點的分數，會外洩，均攤回全體避免蒸發）；每個節點先拿到「隨機跳頁」的重啟基底 (1-d)/N + d·danglingMass/N；再讓每條邊 u→v 把 u 的分數平均分給它的每個出鄰、累加到 v。如此反覆，rank 每輪變動遞減直到收斂——分數最高者即隨機衝浪者長期最常停留的節點。

固定示範圖（6 節點有向圖，同 pagerank.test.js；節點 5 為懸掛節點=無出邊；d=0.85）。唯一穩態排名：2 > 0 > 1 > 5 > 4 > 3

迭代輪數（iterations）：0 本輪最大變動（delta）：— 懸掛質量（danglingMass）：—

節點上方數字為該節點目前的 rank（機率，四捨五入至 3 位小數）；紅色為當前正在收分的節點，並以紅色高亮傳入的邊 u→v；藍框為懸掛節點（無出邊）。末幀以紅色標出榜首、綠色標其餘節點。

rank 排名（由大到小；榜首以紅色標示）

出分支度 outdeg（每個節點把 rank 均分給幾個出鄰；0=懸掛節點）

誠實揭露：這裡做了哪些教學簡化

縮尺：真實 web 圖是十億級節點、以稀疏矩陣做冪迭代；此處為 6 節點固定小圖，方便逐邊看清分數傳遞。
rank 以數字呈現、非以節點大小/顏色深淺映射：本站共用的圖渲染器只畫固定大小節點，故 rank 以節點上方的數字直接標示，而非把圈圈畫大畫小——數值才是可精確核對的真相。
固定輪數而非嚴格收斂判停：示範跑固定輪數（本圖 12 輪，變動已 < 0.001）；末幀數值與獨立跑 500 輪的冪迭代真值在 3 位小數內一致。
決定性軌跡：全程純算術、無隨機（兩次播放逐幀相同）。「隨機衝浪者」是 PageRank 的詮釋；求解本身是確定的冪迭代，不擲骰子。
Personalized PageRank：把「隨機跳頁」的重啟分佈從均勻改成集中於指定節點，rank 便偏向該節點及其可達鄰域（推薦系統常用）。本頁互動示範標準版；personalized 的邏輯已在 pagerank.js 的 teleport 參數與 Java personalizedPageRank 中實作並受測。