已加入 MST 邊數（edgesAdded）：0
累計權重（totalWeight）：0
紅色為當前處理節點；藍框為優先佇列中待處理（frontier）；綠色為已入 MST；綠色粗邊為已確定的 MST 邊（累積顯示）；節點上方數字為該節點目前的 key 值（∞ 表示尚未被鬆弛到）。
假設你要在幾個村莊之間鋪水管，想用最少的管線總長把大家全接通、一寸都不浪費——這就是最小生成樹要解的事；Prim 的做法很直覺：從一個村莊出發，每次都挑「接上去最便宜的那一段」，慢慢把整張網路長大。另一種問題不太一樣：在一張「誰指向誰」的有向關係圖裡（像網頁互連、誰追蹤誰），哪些點能彼此繞得回對方、圈成一個小團體？Tarjan 強連通分量只走一趟就把這些圈子一次框出來。下面兩區可以各自逐步播放，看它們怎麼一步步長樹、圈組。
兩個經典但方向不同的圖論演算法：Prim 最小生成樹作用於無向帶權圖，以優先佇列貪心每輪擴充一個「離目前生成樹最近」的節點， 逐步長出一棵涵蓋所有節點、總權重最小的樹；Tarjan 強連通分量（SCC）作用於有向圖， 單次 DFS 搭配 dfn（發現序）/low（可回溯到的最早祖先）與一個顯式棧，在回溯時一次性彈出整組互相可達的節點。 一個是「貪心累加」，一個是「單趟 DFS 分組」。
以節點 0 為起點，key[0]=0 並將 (0,0) 放入優先佇列；反覆取出佇列中 (w,node) 字典序最小者，若該節點已在 MST 中則跳過（lazy deletion，不主動從佇列刪除舊項）； 否則將其併入 MST、累加權重，並檢查其每個不在 MST 中的鄰居，只要邊權小於該鄰居目前的 key 值就更新 key、記錄父節點並重新入佇列。 直到佇列清空，累積的父邊即為最小生成樹。
單次 DFS：進入節點 u 時設 dfn[u]=low[u]=time++、將 u 入棧；依 id 升序檢查每個鄰居 v——若 v 未訪問則遞迴後用 low[v] 更新 low[u]， 若 v 已訪問且仍在棧上則用 dfn[v] 更新 low[u]（代表 v 是還沒結束的祖先，形成環）。 回溯到 u 時若 low[u]==dfn[u]，代表 u 是目前這組強連通分量的「根」，將棧一路彈出至 u，彈出的節點即組成一組 SCC。